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Dunque, sarà una domanda di numeri infinitesimi. Quale numero è necessario chiamare infinitesimo? Presumiamo che questo numero positivo, se questo la maggior parte numeri meno positivi. È facile da capire che tale non avviene: se è più che zero, è uno di numeri positivi perciò la nostra definizione esige che il numero fosse meno che sé. Perciò esigeremo che fosse il più piccolo in una serie di numeri positivi. Su un asse numerico tale deve esser rappresentato dal punto più sinistro di una serie. Sfortunatamente il numero con le proprietà specificate anche non è presente e non può essere: il numero sarà il numero positivo, più piccolo.

Così, se il numero è infinito un po', il numero è infinitamente grande nel senso che lui più che qualsiasi di numeri: 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1, eccetera. Da detto è possibile vedere che l'esistenza infinitesima contraddice un assioma cosiddetto di Archimedes che afferma che per qualsiasi due pezzo Ed e In esso è possibile posporre più piccolo di loro (così tanti il tempo questo nella somma per ricevere il pezzo che supera un pezzo più grande in lunghezza (.

Presumiamo che l'espansione richiesta * è già costruita da R, e investighiamo la sua struttura. * R chiameremo elementi di serie hyper i numeri reali. Tra loro anche tutti i numeri reali contengono. Per distinguerli, chiameremo numeri reali (gli elementi R) lo standard e altri numeri reali hyper (gli elementi * R/R) — non standardizzato.

Creazione di esempio di una serie incommensurabile. Ogni soddisfazione di numero reale a un'ineguaglianza, ci decomponiamo in decimale binario ripetente; per garantire l'inambiguità vietiamo la decomposizione con numero infinito della partenza in fila le unità. Fissiamo qualsiasi infinitamente gran numero naturale e scegliamo quei numeri reali a cui - il membro di decomposizione è uguale a unità; una serie di tutti i numeri reali che sono scelti così incommensurabilmente secondo Lebesgue.

Comunque, forse, il valore principale dell'analisi non standardizzata consiste in altro. La lingua dell'analisi non standardizzata ha apparito uno strumento di costruzione conveniente di modelli matematici dei fenomeni fisici. Le idee e i metodi dell'analisi non standardizzata possono diventare la parte importante di quadro fisico futuro del mondo. In ogni caso già adesso molti esperti in fisica matematica attivamente usano l'analisi non standardizzata nel lavoro.

Avendo discusso la struttura di "microcosmo" non standardizzato, diremo alcune parole su una struttura di "macrocosmo" non standardizzato. Possono esser rotti in classi ("le galassie"), ciascuna di cui è organizzata, è simile a una serie di tutta la finale hyper numeri reali. Tra galassie là non è né il più grande, né il più piccolo; tra qualsiasi due galassia ci sono infinitamente molte altre galassie.

In quel caso la serie P è chiamata come un campo. Faccia entrare il campo P l'ordine esser entrato, cioè per qualsiasi coppia di elementi non uguali l'un l'altro e è definito quale di loro è più. Così tali proprietà sono effettuate:

È come segue: se vogliamo considerare una conclusione infinitesima, dobbiamo espandere una serie di numeri reali R ad alcuna serie grande * con R. Chiameremo elementi di questa nuova serie hyper i numeri reali. In esso l'assioma di Archimedes non è effettuato e ci sono numeri infinitesimi, tali che quanti loro non mettono con Lei, la somma rimarrà Meno non standardizzata tutto il tempo, o non Archimedean, l'analisi studia una serie di numeri reali hyper * R.

I numeri reali hyper che sono abbastanza finitamente grandi sono chiamati finali. Ogni finale hyper il numero reale può esser presentata nella forma dove - il numero standard, e - infinitesimo. Lasci - una finale hyper il numero reale. Rompiamo numeri reali in due classi: più piccolo e grande. Da certamente, entrambe le classi non sono vuote. Su "un assioma di completezza" c'è un numero reale che divide queste classi. È facile da vedere che sarà infinitesimo. Il numero è chiamato come parte standard di una finale hyper il numero reale. È designato :. Così, la serie di finale hyper i numeri reali irrompe in classi. Queste classi sono chiamate come monads. La serie di tutti infinitamente si chiude i numeri reali hyper a esso è chiamato come un monad di numero standard.